先に回答した者ですが、今日（6日）日帰りで空木岳に行ってきたので（池山尾根）要点のみレポします。
・池山小屋前の水場は出ていました。（水場の小屋側足元に水栓らしきものがありました。これが水栓なのかどうかは分かりません。後ほど山行記録を上げて、写真も載せておきます。）
・池山小屋下（分岐近く）の水場も出ていました。（水栓の有無は不明）
・空木平避難小屋前の沢については、今回、駒石ルートを取ったため直接確認したわけではありませんが、尾根から沢の流れる音が聞こえていたため、水を取ることはできると思います。
・残雪ですが、ルート上にはありません。なのでピストンならチェーンスパイクは不要です。（厳密に言えば、空木平分岐手前に少しだけありますが、通行には何の問題もありません。）ただし、空木平分岐から空木平避難小屋を経由するルートを取るなら、駒峰ヒュッテまで雪渓を登ることになるためチェーンスパイクはあったほうがいいでしょう。

ちなみに池山小屋、空木平避難小屋、その先の檜尾避難小屋ともホントにきれいです。

池山尾根は1月と5月に2回下っただけで、池山避難小屋の水場については見ませんでした。なのでYAMAPを見てみました。

YAMAPには5月29日と30日だけで9個の活動日記があげられてます。
池山尾根には避難小屋が２箇所あります。コンターライン1750ｍ付近の小屋は池山避難小屋と呼ばれているらしく、近くに1774ｍの池山があります。
もう一つの避難小屋は池山平(空木平の間違えかも)というところらしく、2520ｍにあります。
sby00293さんがどちらを考えてるか分かりませんが池山近くの避難小屋なら水場の心配はいらないと思います（6月8日までの天気予報から判断）。

★5月30日「ヨナ沢の頭・空木岳」よこchinさんの記録で画像2枚目に池山避難小屋の水場、そして5枚目に池山平(空木平の間違えかも)避難小屋(空木岳避難小屋)、6枚目に池山平(空木平の間違えかも)避難小屋徒歩1分程度に沢があります。この沢が水場かどうかわかりませんが。少なくても煮沸すれば飲用可と思います（私は状況をみてから判断しますが、見た限りそのまま行ける感じがします）。こちらは凹地で30日現在残雪が豊富なので暫く沢が枯れることはないと思います。

YAMAP、空木岳
https://yamap.com/search/activities?landmark=665
もしかしたら、YAMAPのアカウント取らないと見られないかも。

池山分岐の水場でしたら、今日は潤沢に出ていましたよ。

追加
残雪状況は空木岳直下から小屋までは急坂で結構な雪、その他にもヨナ沢の頭から上はところどころ残雪があり、トラバースのところは厄介でした。私は朝早かったので締まっていてツボ足でしたが、時間帯やあとは雪に慣れているかどうかではないでしょうか。（私は12本爪アイゼン、ピッケルは持っていましたが使いませんでした。）

YAMAPのレポ見るとジャバジャバ出てるようですよ

https://yamap.com/activities/31787643

池山小屋下の水場のことですが、ずっと自分も湧水という認識でした。あるとき枯れていて「あれ、こんなときに？」と思い、山を下りてからその日あたりの他の人の山行記録を見ていたら「水が止まっていたから役場の人にお願いして栓を開けてもらった」というような内容の記述があり、それで「水栓があったのか」と思った次第です。（ちなみに、ここがたくさん出ていても小屋前の水場は出ていないという状況は何度か経験しています。）
実際に水栓を確認したわけではないので、ホントにあるのどうなのか分かりませんが、いずれにしてもこの場所で水が確保できない可能性はあるということを認識しておいたほうがいいと思います。
 

sby00293さん、こんにちは。

登山道が池山避難小屋との分岐付近に水場があります。先の回答では水栓が…と書かれていますがここは地下水脈からの湧水です。水脈の水位が下がっていたり、水量が少ないと水が出ません。空気と水が混じって波がありつつも水が出ていることようなことが結構あります。夏場は出ていることが多いと思いますが、直近の情報を頼りにするしかないですね。避難小屋はこの湧水をひいているのでここがなければ当然ありません。不安なら自分で水をあげるしかありませんね。避難小屋でテントを持つわけでもないでしょうし、他の嗜好品を減らすとかバランスをとりつつ水を持つのがベストとは思います。

空木岳にはシーズン通して登っています。
池山避難小屋付近の水場は小屋前と小屋から5分ほどのところの2箇所ありますが、小屋前は出ていないことが多く、5分ほどの水場（登っていくと小屋の手前になります。）では通年潤沢に出ています。ただこちらはどこかに水栓があるらしく、冬はそれが閉じられていて水が出ていなかったことがあります。
あと、池山避難小屋から先のルート上に水場はないのですが、上の空木平避難小屋前の沢で水を取ることができます。小屋前だと6月初旬には取れないことがありましたが、少し（5分〜10分）上に登ると取れました。年によっては小屋前でも取れました。なお、沢は小屋の下（分岐方面）にもつながっていますが、小屋から下では（取ることができても）取らないようにしたほうがいいと思います。小屋にトイレが併設されているからです。
残雪は（年にもよりますが、）、6月に入ればアイゼンが必要な程度ではありません。雪が残るのは空木平避難小屋からの沢筋ですが、これまで6月に滑り止めを使ったことはありません。それでもこのルートを通るなら念のためチェーンスパイクを携行されるといいでしょう。（ツボ足で登れないわけではない。）